Délayer la levure dans le lait tiède.
Dans le bol d'un robot, mélanger la farine et le sel.
Ajouter le miel, le lait avec la levure et l'oeuf battu à la fourchette.
Pétrir jusqu'à ce que la pâte devienne homogène et ajouter petit à petit le beurre jusqu'à ce qu'il soit complètement absorbé. Augmenter la vitesse, laisser pétrir jusqu'à ce que la pâte se décolle des bords du bol et claque contre les parois.
Disposer la pâte en boule dans un saladier et couvrir d'un torchon propre.
Laisser pousser 1h30 environ, à l'abri des courants d'air.
Dégazer la pâte en y mettant le poing, reformer une boule.
Recouvrir le saladier d'un film alimentaire et placer au frais pendant 2 heures au moins (ou la nuit).
Sur un plan de travail fariné, étaler la pâte sous forme d'un rectangle.
Tartiner la pâte de pesto et ajouter le crottin émietté. Rouler la pâte dans le sens de la largeur ; couper en deux le boudin roulé dans la longueur : tresser en passant un brin par-dessus l'autre en gardant la garniture vers le haut.
Placer la babka dans un moule à cake chemisé de papier cuisson.
Laisser reposer 30 à 40 minutes à température ambiante.
Dorer au jaune d'oeuf dilué avec un peu d'eau, parsemer les pignons de pin puis enfourner pour 20 minutes dans un gour à 180 degrés.